ここで「canonical」とは、バイナリーフィールドにおける要素の唯一かつ直接的な表現方法を指します。例えば、最も基本的なバイナリーフィールドF2では、任意のkビットの文字列は直接kビットのバイナリーフィールド要素にマッピングできます。これは素数フィールドとは異なり、素数フィールドは指定されたビット数内でこのような標準的な表現を提供することができません。32ビットの素数フィールドは32ビットに収まることができますが、すべての32ビットの文字列が一意にフィールド要素に対応するわけではなく、バイナリーフィールドはこの一対一のマッピングの便利さを持っています。素数フィールドFpでは、一般的な縮約方法にはBarrett縮約、Montgomery縮約、そしてMersenne-31やGoldilocks-64などの特定の有限体に対する特殊縮約方法が含まれます。バイナリーフィールドF2kでは、一般的な縮約方法には特別な縮約###（AESで使用される(）、Montgomery縮約)（POLYVALで使用される(）、および再帰縮約)（Tower(）が含まれます。論文「Exploring the Design Space of Prime Field vs. Binary Field ECC-Hardware Implementations」では、バイナリーフィールドは加算および乗算の操作においてキャリーを導入する必要がなく、バイナリーフィールドの平方演算は非常に効率的であり、)X + Y (2 = X2 + Y 2という簡略化されたルールに従うことが指摘されています。
図1に示すように、128ビットの文字列：この文字列は、バイナリフィールドの文脈でさまざまな方法で解釈できます。それは128ビットのバイナリフィールド内の独特な要素と見なされるか、または2つの64ビットタワーフィールド要素、4つの32ビットタワーフィールド要素、16の8ビットタワーフィールド要素、または128のF2フィールド要素として解析されることができます。この表現の柔軟性は、計算コストを必要とせず、ビット文字列の型変換)typecast(に過ぎず、非常に興味深く有用な特性です。同時に、小さなフィールド要素は、追加の計算コストなしでより大きなフィールド要素にパッケージ化できます。Biniusプロトコルは、この特性を利用して計算効率を向上させています。さらに、論文「On Efficient Inversion in Tower Fields of Characteristic Two」では、nビットのタワー型バイナリフィールドにおける)のmビットサブフィールド(に分解しての乗算、平方、逆演算の計算の複雑さが探討されています。
Binius STARKsの原理解析:バイナリ領域における革新的応用と効率最適化
Binius STARKsの原理とその最適化思考の解析
1 はじめに
STARKsの効率が低下する主な理由は、実際のプログラムにおけるほとんどの数値が小さいことです。例えば、forループ内のインデックス、真偽値、カウンターなどです。しかし、Merkleツリーに基づく証明の安全性を確保するために、Reed-Solomonエンコーディングを用いてデータを拡張する際に、多くの追加冗長値が全体の領域を占めることになります。元の値自体が非常に小さい場合でもです。この問題を解決するために、領域のサイズを小さくすることが重要な戦略となりました。
表1に示すように、第1世代のSTARKsのエンコーディングビット幅は252ビット、第2世代のSTARKsのエンコーディングビット幅は64ビット、第3世代のSTARKsのエンコーディングビット幅は32ビットですが、32ビットのエンコーディングビット幅には依然として多くの無駄なスペースが存在しています。それに対して、バイナリーフィールドはビットに直接操作を行うことができ、エンコーディングはコンパクトで効率的であり、無駄なスペースがありません。つまり、第4世代のSTARKsです。
表1:STARKsの進化経路
! Bitlayer研究:Binius STARKsの原理分析と最適化思考
Goldilocks、BabyBear、Mersenne31など最近数年の新しい研究で発見された有限体と比較して、二進数体の研究は1980年代に遡ります。現在、二進数体は暗号学に広く応用されており、典型的な例には次のようなものがあります:
高度暗号化標準(AES)、F28フィールドに基づく;
ガロアメッセージ認証コード(GMAC)、F2128体に基づく;
QRコードは、F28に基づくリード・ソロモン符号を使用しています;
原始FRIとzk-STARKプロトコル、そしてSHA-3ファイナルに進出したGrøstlハッシュ関数は、F28体に基づいており、再帰に非常に適したハッシュアルゴリズムです。
小さな体を使用する場合、拡張体の操作は安全性を確保するためにますます重要になります。Biniusが使用する二進数体は、その安全性と実際の利用可能性を保証するために完全に拡張体に依存する必要があります。ほとんどのProver計算に関与する多項式は、拡張体に入る必要はなく、基体の下で操作するだけで、小さな体で高い効率を実現しています。しかし、ランダムポイントチェックとFRI計算は、必要な安全性を確保するために、より大きな拡張体に深入りする必要があります。
バイナリーフィールドに基づいて証明システムを構築する際には、2つの実際的な問題があります: STARKsにおけるトレース表現を計算する際に使用されるフィールドのサイズは多項式の次数よりも大きくなければならず; STARKsにおけるメルクルツリーのコミットメントを行う際には、リード・ソロモン符号化を行う必要があり、使用されるフィールドのサイズは符号化された拡張後のサイズよりも大きくなければなりません。
Biniusは、これら二つの問題をそれぞれ処理する革新的なソリューションを提案し、同じデータを二つの異なる方法で表現することで実現しています。まず、単変数多項式の代わりに多変数(、具体的には多項式を使用し、"超立方体")hypercubes(上での値を使用して、計算の軌跡全体を表現します。次に、超立方体の各次元の長さが2であるため、STARKsのように標準的なReed-Solomon拡張を行うことはできませんが、超立方体を方形)square(と見なして、その方形に基づいてReed-Solomon拡張を行うことができます。この方法は、安全性を保証しながら、エンコーディングの効率と計算性能を大幅に向上させます。
2 原理分析
現在ほとんどのSNARKsシステムの構築は通常次の二つの部分を含みます:
情報理論的多項式対話型オラクル証明)Information-Theoretic Polynomial Interactive Oracle Proof, PIOP(:PIOPは証明システムの核心として、入力された計算関係を検証可能な多項式等式に変換します。異なるPIOPプロトコルは、検証者との対話を通じて、証明者が多段階で多項式を送信できるようにし、検証者は少数の多項式の評価結果をクエリすることで計算が正しいかどうかを確認できます。既存のPIOPプロトコルには、PLONK PIOP、Spartan PIOP、HyperPlonk PIOPなどがあり、それぞれ多項式表現の処理方法に違いがあり、これにより全体のSNARKシステムの性能と効率に影響を与えます。
多項式コミットメントスキーム)Polynomial Commitment Scheme, PCS(:多項式コミットメントスキームは、PIOP生成の多項式等式が成立するかどうかを証明するために使用されます。PCSは暗号学的ツールの一種で、これを通じて証明者はある多項式をコミットし、後でその多項式の評価結果を検証できると同時に、多項式の他の情報を隠すことができます。一般的な多項式コミットメントスキームにはKZG、Bulletproofs、FRI)Fast Reed-Solomon IOPP(、Brakedownなどがあります。異なるPCSは異なる性能、安全性、適用シーンを持っています。
具体的なニーズに応じて、異なるPIOPとPCSを選択し、適切な有限体または楕円曲線と組み合わせることで、異なる属性を持つ証明システムを構築できます。例えば:
• Halo2: PLONK PIOP と Bulletproofs PCS を組み合わせ、Pasta 曲線に基づいています。Halo2 の設計では、スケーラビリティを重視し、ZCash プロトコルの trusted setup を排除しています。
• Plonky2: PLONK PIOPとFRI PCSを組み合わせ、Goldilocks領域に基づいています。Plonky2は効率的な再帰を実現するために設計されています。これらのシステムを設計する際に選択されるPIOPとPCSは、使用する有限体または楕円曲線と一致している必要があり、システムの正確性、性能、安全性を確保します。これらの組み合わせの選択は、SNARKの証明サイズと検証効率に影響を与えるだけでなく、信頼できる設定なしで透明性を実現できるかどうか、再帰的証明や集約証明などの拡張機能をサポートできるかどうかを決定します。
Binius:HyperPlonk PIOP + Brakedown PCS + 二進制域。具体而言,Binius包括五项关键技术,以实现其高效性和安全性。首先,基于タワー型二進制域)towers of binary fields(の算術化がその計算の基盤を構成し、二進制域内で簡略化された演算を実現します。次に、BiniusはそのインタラクティブOracle証明プロトコル)PIOP(において、HyperPlonkの積と置換チェックを改編し、変数とその置換間の安全かつ効率的な整合性チェックを確保しています。第三に、プロトコルは新しい多項式シフト証明を導入し、小さな域での多項式関係の検証効率を最適化しました。第四に、Biniusは改良されたLasso探索証明を採用し、探索メカニズムに柔軟性と強力な安全性を提供しています。最後に、プロトコルは小域多項式コミットメントスキーム)Small-Field PCS(を使用し、二進制域上で効率的な証明システムを実現し、大域に関連する通常のオーバーヘッドを削減しました。
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) 2.1 有限体:二値体の塔に基づく算術
タワー型バイナリーフィールドは、高速で検証可能な計算を実現するための鍵であり、主に2つの側面によるものです: 効率的な計算と効率的な算術化です。バイナリーフィールドは本質的に非常に効率的な算術演算をサポートし、性能要求に敏感な暗号アプリケーションにとって理想的な選択肢となります。さらに、バイナリーフィールドの構造は、簡略化された算術プロセスをサポートしており、バイナリーフィールド上で実行される演算は、コンパクトで検証が容易な代数形式で表現できます。これらの特性に加え、タワー構造を通じてその階層的特性を十分に活用できることが、バイナリーフィールドをBiniusのようなスケーラブルな証明システムに特に適したものにしています。
ここで「canonical」とは、バイナリーフィールドにおける要素の唯一かつ直接的な表現方法を指します。例えば、最も基本的なバイナリーフィールドF2では、任意のkビットの文字列は直接kビットのバイナリーフィールド要素にマッピングできます。これは素数フィールドとは異なり、素数フィールドは指定されたビット数内でこのような標準的な表現を提供することができません。32ビットの素数フィールドは32ビットに収まることができますが、すべての32ビットの文字列が一意にフィールド要素に対応するわけではなく、バイナリーフィールドはこの一対一のマッピングの便利さを持っています。素数フィールドFpでは、一般的な縮約方法にはBarrett縮約、Montgomery縮約、そしてMersenne-31やGoldilocks-64などの特定の有限体に対する特殊縮約方法が含まれます。バイナリーフィールドF2kでは、一般的な縮約方法には特別な縮約###（AESで使用される(）、Montgomery縮約)（POLYVALで使用される(）、および再帰縮約)（Tower(）が含まれます。論文「Exploring the Design Space of Prime Field vs. Binary Field ECC-Hardware Implementations」では、バイナリーフィールドは加算および乗算の操作においてキャリーを導入する必要がなく、バイナリーフィールドの平方演算は非常に効率的であり、)X + Y (2 = X2 + Y 2という簡略化されたルールに従うことが指摘されています。
図1に示すように、128ビットの文字列：この文字列は、バイナリフィールドの文脈でさまざまな方法で解釈できます。それは128ビットのバイナリフィールド内の独特な要素と見なされるか、または2つの64ビットタワーフィールド要素、4つの32ビットタワーフィールド要素、16の8ビットタワーフィールド要素、または128のF2フィールド要素として解析されることができます。この表現の柔軟性は、計算コストを必要とせず、ビット文字列の型変換)typecast(に過ぎず、非常に興味深く有用な特性です。同時に、小さなフィールド要素は、追加の計算コストなしでより大きなフィールド要素にパッケージ化できます。Biniusプロトコルは、この特性を利用して計算効率を向上させています。さらに、論文「On Efficient Inversion in Tower Fields of Characteristic Two」では、nビットのタワー型バイナリフィールドにおける)のmビットサブフィールド(に分解しての乗算、平方、逆演算の計算の複雑さが探討されています。
図1: タワー型バイナリフィールド
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) 2.2 PIOP: バイナリドメイン用の適応 HyperPlonk プロダクトと PermutationCheck ------
BiniusプロトコルにおけるPIOP設計はHyperPlonkを参考にしており、多項式および多変数集合の正確性を検証するための一連のコアチェックメカニズムを採用しています。これらのコアチェックには次のものが含まれます:
GateCheck: 機密証明ωと公開入力xが回路計算関係C###x,ω(=0を満たしているかを検証し、回路が正しく動作することを保証します。
PermutationCheck: 2つの多変数多項式fとgがブール超立方体上で評価された結果が置換関係であるかどうかを検証します。f)x( = f)π(x()、これは多項式の変数間の配置の一貫性を確保するためです。
LookupCheck:多項式の評価が指定されたルックアップテーブルに存在するかどうかを検証します。すなわち、f)Bµ( ⊆ T)Bµ(であり、特定の値が指定された範囲内にあることを確認します。
MultisetCheck: 2つの多変数集合が等しいかどうかをチェックします。すなわち、{)x1,i,x2,(}i∈H={)y1,i,y2,(}i∈H、複数の集合間の一貫性を保証します。
ProductCheck:ブールハイパーキューブ上の有理多項式の評価が宣言値∏x∈Hμ f)x( = sと等しいかどうかをチェックし、多項式積の正確性を確保します。
ZeroCheck: ブール超立方体上の任意の点における多変数多項式がゼロであるかどうかを検証する∏x∈Hµ f)x( = 0, ∀x ∈ Bµ, 多項式の零点分布を確保するため。
SumCheck: 多変数多項式の合計が宣言された値∑x∈Hµ f)x( = sであるかどうかを検出します。多変数多項式の評価問題を単変数多項式の評価に変換することにより、検証者の計算複雑性を低減します。さらに、SumCheckはバッチ処理を許可し、ランダム数を導入することで、複数の合計チェックインスタンスに対するバッチ処理を実現します。
BatchCheck: SumCheckに基づいて、複数の多変数多項式の評価の正しさを検証し、プロトコルの効率を向上させます。
BiniusはHyperPlonkとプロトコル設計において多くの類似点がありますが、以下の3つの点で改善を行っています:
ProductCheckの最適化: HyperPlonkにおいて、ProductCheckは分母Uが超立方体上で常に非零であり、かつ積が特定の値に等しいことを要求します; Biniusはこの値を1に特化することで、このチェックプロセスを簡略化し、計算の複雑さを低減しました。
ゼロ除算問題の処理: HyperPlonkはゼロ除算の状況を十分に処理できず、超立方体上でUが非ゼロであるかどうかを断言できませんでした; Biniusはこの問題を正しく処理し、分母がゼロであってもBiniusのProductCheckは処理を続け、任意の積値への拡張を許可します。
列間PermutationCheck:HyperPlonkにはこの機能はありません;Biniusは複数の列間でPermutationCheckをサポートしており、これによりBiniusはより複雑な多項式の配置を処理できるようになります。
そのため、Biniusは既存のPIOPSumCheckメカニズムの改善を通じて、プロトコルの柔軟性と効率を向上させ、特により複雑な多変数多項式の検証を処理する際に、より強力な機能サポートを提供しました。これらの改善は、HyperPlonkの限界を解決するだけでなく、将来のバイナリフィールドに基づく証明システムの基礎を築くものです。
) 2.3 PIOP:新しいマルチリニアシフト引数------に適用されます